【題目】如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽,它的主題圖案由一連串如圖所示的直角三角形演化而成.設(shè)其中的第一個(gè)直角是等腰三角形,且,則,,現(xiàn)將沿翻折成,則當(dāng)四面體體積最大時(shí),它的表面有________個(gè)直角三角形;當(dāng)時(shí),四面體外接球的體積為________.
【答案】4
【解析】
當(dāng)四面體體積最大時(shí),平面平面,由此推出,根據(jù)勾股定理可以推出,從而可得有4個(gè)直角三角形,根據(jù),可得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的中點(diǎn),且四面體的外接球的球心在直線上,根據(jù)勾股定理可求得外接球的半徑,代入體積公式可求得結(jié)果.
當(dāng)四面體體積最大時(shí),平面平面,因?yàn)?/span>,所以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面,所以,所以△為直角三角形,所以,又,,
所以,所以,所以三角形為直角三角形,
所以它的表面有4個(gè)直角三角形,
因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是直角三角形的外心,
也就是的中點(diǎn),且四面體的外接球的球心在直線上,如圖:
容易求得,設(shè),
則在直角三角形中,由勾股定理可得,
所以,解得,
所以四面體外接球的體積為.
故答案為:(1)4 (2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知、,、分別為的外心,重心,.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)是否存在過的直線交曲線于,兩點(diǎn)且滿足,若存在求出的方程,若不存在請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、為橢圓上位于第一象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),線段的垂直平分線分別交軸、軸于、兩點(diǎn).
(ⅰ)求證:為的中點(diǎn);
(ⅱ)若(為三角形的面積),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率,環(huán)比增長率一般是指和前一時(shí)期相比較的增長率.2020年2月29日人民網(wǎng)發(fā)布了我國2019年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)圖表,根據(jù)2019年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)折線圖,下列說法正確的是( )
A.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2018年同期相比有漲有跌
B.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格中2月消費(fèi)價(jià)格最高
C.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格逐月遞增
D.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格3月份較2月份有所下降
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解(其中e=2.71828… 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. (,] B. (,] C. [,) D. [,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某口罩廠一年中各月份的收入、支出情況如圖所示(單位:萬元,下列說法中錯(cuò)誤的是(注:月結(jié)余=月收入一月支出)( )
A.上半年的平均月收入為45萬元B.月收入的方差大于月支出的方差
C.月收入的中位數(shù)為70D.月結(jié)余的眾數(shù)為30
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司培訓(xùn)員工某項(xiàng)技能,培訓(xùn)有如下兩種方式:
方式一:周一到周五每天培訓(xùn)1小時(shí),周日測(cè)試
方式二:周六一天培訓(xùn)4小時(shí),周日測(cè)試
公司有多個(gè)班組,每個(gè)班組60人,現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓(xùn);甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓(xùn)后測(cè)試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如表:
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲組 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙組 | 8 | 16 | 20 | 16 |
用方式一與方式二進(jìn)行培訓(xùn),分別估計(jì)員工受訓(xùn)的平均時(shí)間精確到,并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高?
在甲乙兩組中,從第三周培訓(xùn)后達(dá)標(biāo)的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人,求這2人中至少有1人來自甲組的概率.
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