Question

【題目】已知函數(shù).

(1) 若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

(2) 若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

(3) 對(duì)任意的，都有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見(jiàn)解析(3) .

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由，即可解得 ；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為求出根，通過(guò)討論根與區(qū)間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較，即可得函數(shù)的最小值；（3）由題意可得在遞增.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到的范圍.

試題解析：(1) ，函數(shù)點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線方程為，則，計(jì)算得出；

(2) ，

令得（舍）或，

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以.

即有當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

(3)對(duì)任意的，都有，

即為在遞增．

因?yàn)?/span>， ， 在恒成立，

即有在恒成立，即有令，對(duì)稱軸， ，則判別式，

即，計(jì)算得出．則有的取值范圍為.