Question

從數(shù)列{a_n}中抽出一些項(xiàng)，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列{a_n}的一個(gè)子列．
（Ⅰ）寫出數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）若{a_n}是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公比q＞0且q≠1，則數(shù)列{a_n}是否存在一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)子列的定義即可寫出數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義以及子列的定義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）a_n=2^2n-1（若只寫出2，8，32三項(xiàng)也給滿分）．
（Ⅱ）證明：假設(shè)能抽出一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為{b_n}，通項(xiàng)公式為b_n=b₁+（n-1）d．
∵a₁=1，∴a_n=q^n-1．
（1）當(dāng)0＜q＜1時(shí)，a_n=q^n-1∈（0，1]，且數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
∴{b_n}也為遞減數(shù)列且b_n∈（0，1]，d＜0，
令b₁+（n-1）d＜0，得n＞1-

b1

d

＞1，
即存在n＞1使得b_n＜0，這與b_n∈（0，1]矛盾．
（2）當(dāng)q＞1時(shí)，a_n=q^n-1≥1，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)數(shù)列，
∴{b_n}也為遞增數(shù)列且b_n≥1，d＞0．
∵d為正的常數(shù)，且q＞1，
∴存在正整數(shù)m使得a_m+1-a_m=q^m-1（q-1）＞d．
令b_k=a_p，（p＞m），則b_k+1≥a_p+1，
∵a_p+1-a_p=q^p-1（q-1）＞q^m-1（q-1）＞d=b_k+1-b_k，
∴a_p+1-a_p＞b_k+1-b_k，即a_p+1＞b_k+1，但這與b_k+1≥a_p+1矛盾，說明假設(shè)不成立．
綜上，∴數(shù)列{a_n}不存在是無窮等差數(shù)列的子列．

點(diǎn)評：本題主要考查與等比數(shù)列有關(guān)的概念，綜合性較強(qiáng)，難度較大．