Question

下列命題中，正確的是

 

（1）曲線y=lnx在點(diǎn)（1，0）處的切線方程是y=x-1；
（2）函數(shù)y=

16-2x

的值域是[0，4]；
（3）已知

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈(π，

3π

2

)，則

a

⊥

b

；
（4）O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinC

)，λ∈（0，+∞），則直線1過(guò)三角形的內(nèi)心．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程判斷（1）；
（2）由指數(shù)函數(shù)的值域求得無(wú)理函數(shù)的值域判斷（2）；
（3）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式判斷（3）；
（4）由平面向量的幾何意義分析（4）．

解答： 解：對(duì)于（1），由y=lnx，得y′=

1

x

，則y′|_x=1=1，曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程是y=x-1，命題正確；
對(duì)于（2），∵2^x＞0，∴-2^x＜0，
∴函數(shù)y=

16-2x

的值域是[0，4），命題錯(cuò)誤；
對(duì)于（3），已知

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈(π，

3π

2

)，則

a

•

b

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0，
∴

a

⊥

b

，命題正確；
對(duì)于（4），O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinC

)，λ∈（0，+∞），
則

OP

=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
∵

AB

| AB |

，

AC

| AC |

分別表示

AB

，

AC

方向上的單位向量，
∴

AB

| AB |

+

AC

| AC |

的方向與∠BAC的角平分線一致，
∵

OP

=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
∴

AP

=2Rλ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
∴

AP

的方向與∠BAC的角平分線一致，
則直線1一定通過(guò)三角形的內(nèi)心，命題正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了平面向量的應(yīng)用，是中檔題．