Question

【題目】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn).

(1)求證：直線MF∥平面ABCD；

(2)求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】試題分析：（1）延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN.，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN ，從而證明MF∥平面ABCD．

（2）由直四棱柱性質(zhì)得A1A⊥平面ABCD，從而A1A⊥BD，由菱形性質(zhì)推知AC⊥BD，所以BD⊥平面ACC1A1.又NA∥BD．易證得結(jié)論．

試題解析:

　(1)延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN.

∵F是BB1的中點(diǎn)，

∴F為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn).

又∵M是線段AC1的中點(diǎn)，

∴MF∥AN.

又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD.

(2)連接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，

∴A1A⊥BD.

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD.

又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1.

在四邊形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，

∴四邊形DANB為平行四邊形，

∴NA∥BD，

∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA平面AFC1，

∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.