【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面, 垂直于 , , 是棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的余弦值;

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn), 與平面所成的角為,求的最大值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)

【解析】 試題分析:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的一個(gè)法向量,由,即可證明平面;

(2)易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面所成的二面角為,求得,即可求得平面與平面所成的二面角的余弦值.

(3)設(shè),則,平面的一個(gè)法向量為,取得的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解的最大值.

試題解析:

(Ⅰ)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則, , , ,

, , ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,得

,∴平面

(Ⅱ)易知平面的一個(gè)法向量為 ,設(shè)平面與平面所成的二面角為,

易知,則,∴

所以平面與平面所成的二面角的余弦值為

(Ⅲ)設(shè),則,易知平面的一個(gè)法向量為,

,

當(dāng),即時(shí), 取得最大值,且

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(1)若過(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;

(2)在(1)的條件下, 是橢圓的左頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓兩點(diǎn),直線分別交直線兩點(diǎn),若直線的斜率分別為,試問(wèn): 是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)化曲線的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;

(2)設(shè)曲線軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線,直線交曲線兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).

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現(xiàn)從該港口隨機(jī)抽取了家公司,其中消防安全等級(jí)為三級(jí)的恰有20家.

)求的值;

)按消防安全等級(jí)利用分層抽樣的方法從這家公司中抽取10家,除去消防安全等級(jí)為一級(jí)和四級(jí)的公司后,再?gòu)氖S喙局腥我獬槿?/span>2家,求抽取的這2家公司的消防安全等級(jí)都是二級(jí)的概率.

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