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【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且經過，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率；

（Ⅱ）四邊形的四個頂點都在橢圓上，且對角線，過原點，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值.

【答案】（Ⅰ）橢圓的標準方程，離心率；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）設橢圓的方程為，代入條件可得橢圓方程，進而可得離心率；

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，，設的方程為，，，與橢圓聯立得 ，由，利用韋達定理代入化簡得，表示原點到直線的距離，代入 化簡即可得解.

（Ⅰ）設橢圓的方程為，則

所以橢圓的標準方程，所以，，，離心率.

（Ⅱ）證明：不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，

設的方程為，，.

聯立，得 ，

則，.①

由，得 .②

由①、②，得.③

設原點到直線的距離為， ，

.

由③、④得，故四邊形的面積為定值，且定值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：

已知，，求證：.

證明：構造函數，

即

.

因為對一切，恒有，

所以，從而得.

（1）若，，請寫出上述結論的推廣式；

（2）參考上述證法，對你推廣的結論加以證明.

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【題目】定義在上的函數滿足，當時，，函數.若對任意，存在，不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，圖2是某城市1月至8月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級， 一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面四種說法正確的是（ ）

①1月至8月空氣合格天數超過20天的月份有5個

②第二季度與第一季度相比，空氣達標天數的比重下降了

③8月是空氣質量最好的一個月

④6月份的空氣質量最差

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

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【題目】全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設小康社會中市民整體素質和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號.為普及相關知識，爭創(chuàng)全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現隨機抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：

（1）根據上表中的數據，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；

（2）用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率.

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【題目】已知,如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為的正方形,,且.

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）在線段（不包含端點）上是否存在點,使得與平面所成的角為;若存在,寫出的值,若不存在,說明理由.

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【題目】在四棱錐中，底面是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（參考公式：）（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ，當時，對于任意的實數，都有不等式成立，則實數的取值范圍是

A. B. C. D.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，以原點為極點，以軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：.

（1）若曲線參數方程為：（為參數），求曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（2）若曲線參數方程為：（為參數），，且曲線與曲線交點分別為，，求的取值范圍.

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