【題目】對(duì)于數(shù)列{an}、{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】
(1)解:由Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,
∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1,
∴an+1﹣an=2n+1,
∴a2﹣a1=2×1+1,
a3﹣a2=2×2+1,
a4﹣a3=2×3+1,
…
an﹣an﹣1=2(n﹣1)+1,
以上各式相加可得:an﹣a1=2×(1+2+3+…+n﹣1)+(n﹣1),
∴an=2× +(n﹣1)+1=n2,
∴an=n2,
∵bn+1=3bn+2,即bn+1+1=3(bn+1),
b1+1=2,
∴數(shù)列{bn+1}是以2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,
bn+1=2×3n﹣1,
∴bn=2×3n﹣1﹣1;
(2)解:由(1)可知:cn= = = ,
∴Tn=c1+c2+…+cn= + + +…+ ,
Tn= + + +…+ ,
∴ Tn=2+ + + +…+ ﹣ ,
=2+ ﹣ ,
= ﹣ ,
∴Tn= ﹣ ,
數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,Tn= ﹣
【解析】(1)由Sn+1﹣Sn=an+2n+1,則an+1﹣an=2n+1,利用“累加法”即可求得an=n2 , 由bn+1+1=3(bn+1),可知數(shù)列{bn+1}是以2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,即可求得{bn}的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知:cn= = = ,利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解小學(xué)生的體能情況,抽取某校一個(gè)年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)的測(cè)試,將數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖如圖所示.已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別為0.1,0.3,0.4,且第一小組的頻數(shù)為5.
(1)求第四小組的頻率;
(2)求參加這次測(cè)試的學(xué)生的人數(shù);
(3)若一分鐘跳繩次數(shù)在75次以上(含75次)為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生跳繩測(cè)試的達(dá)標(biāo)率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市在創(chuàng)建全國(guó)旅游城市的活動(dòng)中,對(duì)一塊以O為圓心,R(R為常數(shù),單位:米)為半徑的半圓形荒地進(jìn)行治理改造,其中弓形BCD區(qū)域(陰影部分)種植草坪,△OBD區(qū)域用于兒童樂(lè)園出租,其余區(qū)域用于種植觀賞植物.已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元,兒童樂(lè)園出租的利潤(rùn)是每平方米95元.
(1)設(shè)∠BOD=θ(單位:弧度),用θ表示弓形BCD的面積S弓=f(θ).
(2)如果該市規(guī)劃辦邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)∠BOD的大小才能使總利潤(rùn)最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0,則a的值為 ( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x|﹣mx+1有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(0,2)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)
D.[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S4=4S2 , a2+a4=10.
(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 + +…+ =1﹣ ,n∈N* , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市有48 000名學(xué)生,一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,從理論上講,在80分到90分之間有____人.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng),且滿足a-2bsin A=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.
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