Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的公共焦點(diǎn)，C₁，C₂的離心率分別記為e₁，e₂．A是C₁，C₂在第一象限的公共點(diǎn)，若C₂的一條漸近線是線段AF₁的中垂線，則

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=（　�。�

• A、2
• B、

  5

  2

• C、

  7

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合,直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，則
由雙曲線的定義|AF₁|-|AF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|AF₁|+|AF₂|=2a  ②
∵C₂的一條漸近線是線段AF₁的中垂線，
∴∠F₁AF₂=90°，故|AF₁|²+|AF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|AF₁|²+|AF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③得a²+m²=2c²，即

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來(lái)．