【題目】在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O′的直徑,F(xiàn)B是圓臺的一條母線.

(1)已知G,H分別為EC,F(xiàn)B的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB= AC=2 AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.

【答案】
(1)

證明:取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH,

∵G、H為EC、FB的中點(diǎn),

∴GQ ,QH ,又∵EF BO,∴GQ BO,

∴平面GQH∥平面ABC,

∵GH面GQH,∴GH∥平面ABC


(2)

解:

∵AB=BC,∴BO⊥AC,

又∵OO′⊥面ABC,

∴以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2 ,0,0),C(﹣2 ,0,0),B(0,2 ,0),O′(0,0,3),F(xiàn)(0, ,3),

=(﹣2 ,﹣ ,﹣3), =(2 ,2 ,0),

由題意可知面ABC的法向量為 =(0,0,3),

設(shè) =(x0,y0,z0)為面FCB的法向量,

,即 ,

取x0=1,則 =(1,﹣1,﹣ ),

∴cos< >= = =﹣

∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角,

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為


【解析】(1)取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH,推導(dǎo)出平面GQH∥平面ABC,由此能證明GH∥平面ABC.(2)由AB=BC,知BO⊥AC,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值.;本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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(1)M為曲線C1上的動點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;

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