Question

已知x，y是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，則滿(mǎn)足

x

y

+

14y

9x

為整數(shù)的（x，y）有

 

對(duì)．

Answer 1

考點(diǎn)：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)整除的性質(zhì)討論得到．

解答： 解：設(shè)

x

y

+

14y

9x

=n，則9x²+14y²=9xy•n，則9x²+14y² 一定能被9整除，則14y²一定能被9整除，即y一定能被3整除，
因?yàn)閤，y是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，當(dāng)y=3時(shí)，9x²+14×9=9×3xn，即x²+14=3xn，則x²+14一定能被3整除，x只能是1，2，
當(dāng)y=6，9x²+14×36=9×6xn，即x²+56=6xn，則x²+56一定能被6整除，x²只能是偶數(shù)，則x是偶數(shù)，與6互質(zhì)矛盾，
當(dāng)y=9，9x²+14×9×9=9×9xn，即x²+14×9=9xn，則x²一定能被9整除，即x一定能被3整除，與9互質(zhì)矛盾，
當(dāng)y=12，9x²+14×12×12=9×12xn，即x²+14×16=12xn，則x²一定是偶數(shù)，即x一定是偶數(shù)，與12互質(zhì)矛盾，
故有（1，3），（2，3）兩對(duì)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)的整除問(wèn)題，需要分類(lèi)討論．