【題目】橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)M（0，-1），直線l經(jīng)過點(diǎn)N（2，1）且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)M），記直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，證明 為定值，并求出該定值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)已知得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)先考慮直線l的斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，直線l的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再求出，化簡即得其為定值.

（Ⅰ）將代入中，由可得，

所以弦長為，

故有，解得，

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）若直線l的斜率不存在，即直線的方程為x=2，與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意。

設(shè)直線l的斜率為k，若k=0，直線l與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故k≠0.

所以直線l的方程為，即， 直線l的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：

消去y得:,

設(shè)，則，

,

把代入上式，得

，命題得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

已知公比為整數(shù)的正項(xiàng)等比數(shù)列滿足： ， ．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知甲同學(xué)每投籃一次，投進(jìn)的概率均為.

（1）求甲同學(xué)投籃4次，恰有3次投進(jìn)的概率；

（2）甲同學(xué)玩一個(gè)投籃游戲，其規(guī)則如下：最多投籃6次，連續(xù)2次不中則游戲終止.設(shè)甲同學(xué)在一次游戲中投籃的次數(shù)為，求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.

(Ⅰ)求角C的大��；

(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為，求C的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)，由題意可得，即，又由條件得，構(gòu)造，令，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點(diǎn)睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》卷中“菱草形段”第一個(gè)問題“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，問底子（每層三角形邊菱草束數(shù)，等價(jià)于層數(shù)）幾何？”中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛（“落一形”即是指頂上束，下一層束，再下一層束，……，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層菱草束數(shù)），則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中，那么可以表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）

A.

B.

C.

D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列結(jié)論：

①“且為真”是“或為真”的充分不必要條件：②“且為假”是“或為真”的充分不必要條件；③“或為真”是“非為假”的必要不充分條件；④“非為真”是“且為假”的必要不充分條件.

其中，正確的結(jié)論是__________.

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