設(shè)函數(shù)f(x)=x+
px
(p＞0)．
（1）若p=4，判斷f（x）在區(qū)間（0，2）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，2）上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）若p=8，方程f（x）=a-3在x∈（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）當(dāng)p=4時(shí)，f（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）的單調(diào)遞減，利用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可；
（2）依題意知，
p
≥2，從而可求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+
8
x
+3，令g（x）=x+
8
x
+3，利用g（x）在區(qū)間（0，2）是單調(diào)遞減的性質(zhì)可求其值域，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)p=4時(shí)，f（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）的單調(diào)遞減．
證明：令0＜x1＜x2＜2，
則f（x1）-f（x2）
=（x1+
4
x1
）-（x2+
4
x2
）
=（x1-x2）+（
4
x1
-
4
x2
）
=（x1-x2）+4•
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
），
∵0＜x1＜x2＜2，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，
∴
4
x1x2
＞1，1-
4
x1x2
＜0，
∴（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）的單調(diào)遞減；
（2）∵f（x）=x+
p
x
（p＞0）在（0，
p
]上單調(diào)遞減，又f（x）在區(qū)間（0，2）上為單調(diào)減函數(shù)，
∴
p
≥2，
∴p≥4，即實(shí)數(shù)p的取值范圍是[2，+∞）；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+
8
x
+3，令g（x）=x+
8
x
+3，
∵g（x）在區(qū)間（0，2
2
]是單調(diào)遞減，（0，2）⊆（0，2
2
]，
∴g（x）在區(qū)間（0，2）是單調(diào)遞減，
又g（2）=9，
∴a＞9．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（9，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列三個(gè)命題：
①函數(shù)f(x)=(
12
)x為R上的l高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

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設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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