Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=a_n-1+n，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由已知，得a_n-a_n-1=n（n≥2，n∈N*），利用累加法求通項(xiàng)公式
（Ⅱ）bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n

解答： 解：（Ⅰ）a_n-a_n-1=n（n≥2，n∈N*）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，(n∈N*)
當(dāng)n=1時(shí)滿足上式，∴an=

n(n+1)

2

．  　　　　　　　　 　
（Ⅱ）bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

2n

n+1

點(diǎn)評：本題考查累加法，裂項(xiàng)法在數(shù)列計(jì)算中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．