Question

南海中學校園內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25

3

米，為了便于師生平時休閑散步，總務科將在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路OE、EF和OF，考慮到校園整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設∠BOE=α，試將△OEF的面積S表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）在△OEF區(qū)域計劃種植海南省花三角梅，請你幫總務科計算△OEF面積的取值范圍．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）要將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來表示，而OE，OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．
（2）由（1）得S=

625

sin2α

，α∈[

π

6

，

π

3

]，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF=

25

cosαsinα

，
∴l(xiāng)=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
當點F在點D時，這時角α最小，求得此時α=

π

6

；
當點E在C點時，這時角α最大，求得此時α=

π

3

．
故此函數(shù)的定義域為[

π

6

，

π

3

]；
（2）由（1）得S=

625

sin2α

，
∵α∈[

π

6

，

π

3

]，∴sin2α∈[

3

2

，1]
∴S∈[625，

1250 3

3

]．

點評：本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實際問題中的應用，考查了利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，及推理運算的能力．