Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線為l，求l在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=（ax﹣1+a）ex，

則f'（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，且等號(hào)不恒成立，

又ex＞0，所以ax﹣1+a≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，

記g（x）=ax﹣1+a，只需 ，即 ，解得 且a≠0

（2）解：由f'（x）=（ax﹣1+a）ex=0，得 ，

①當(dāng)a＜0時(shí)，有 ； ，

所以函數(shù)f（x）在 單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（x）在 取得極大值 ，沒有極小值．

②當(dāng)a＞0時(shí)，有 ； ，

所以函數(shù)f（x）在 單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）在 取得極小值 ，沒有極大值．

綜上可知：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在 取得極大值 ，沒有極小值；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在 取得極小值 ，沒有極大值

（3）解：設(shè)切點(diǎn)為T（t，（at﹣1）et），

則曲線在點(diǎn)T處的切線l方程為y﹣（at﹣1）et=（at﹣1+a）（x﹣t）et，

當(dāng) 時(shí)，切線l的方程為 ，其在x軸上的截距不存在．

當(dāng) 時(shí)，令y=0，得切線l在x軸上的截距為：

= = = = ，…（12分）

當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 或 時(shí)取等號(hào)

當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 或 時(shí)取等號(hào)．

所以切線l在x軸上的截距范圍是

【解析】（1）根據(jù)已知可判斷函數(shù)極值的情況，先找導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)。（2）根據(jù)已知函數(shù)求極值求f'（x），令f'（x）=0的求出根并列表檢驗(yàn)f'（x）在f'（x）=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)進(jìn)而得到結(jié)果。（3）利用已知極值求參數(shù)，若函數(shù)f(x)在點(diǎn)極值處取得極值，則f'（x）=0，且在該點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反。，進(jìn)而得出切線l在x軸上的截距范圍。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．