Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)函數(shù)有最大值，最大值為2，
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上有最小值，最小值為-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和公式，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．