Question

【題目】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.

（1）已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）①bn=n；②5.

【解析】

（1）由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論；

（2）①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式；

②由①確定的值，將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值．

（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.

（2）①因?yàn)?/span>，所以．

由得，則.

由，得，

當(dāng)時(shí)，由，得，

整理得．

所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.

②由①知，bk=k，.

因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.

因?yàn)?/span>ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1；

當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有．

設(shè)f（x）=，則．

令，得x=e.列表如下：

x		e	(e，+∞)
	+	0	–
f（x）		極大值

因?yàn)?/span>，所以．

取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，，即，

經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

綜上，所求m的最大值為5．