Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為正數(shù)，且a₁=2，a₃=a₂+4．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，且q＞0．
由a₁=2，a₃=a₂+4得2q²=2q+4，化為q²-q-2=0，
又q＞0，解得q=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=2×2n-1=2n．
（2）∵{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴a_n•b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴Sn=1×21+3×22+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴2Sn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
兩式相減可得：-Sn=2+2×(22+23+…+2n)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(2n-1-1)

2-1

-(2n-1)×2n+1=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．