Question

13．已知p：1＜2^x＜8；q：不等式x²-mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要條件，求實數m的取值范圍m≤4．

Answer 1

分析 由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要條件可知p是q的充分條件，從而可得x²-mx+4≥0對于任意的x∈（0，3）恒成立，進而轉化為m≤$\frac{4+{x}^{2}}{x}$=x+$\frac{4}{x}$對于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求．

解答 解：∵1＜2^x＜8
∴p：0＜x＜3
∵￢p是￢q的必要條件
∴p是q的充分條件即p⇒q
∵x²-mx+4≥0對于任意的x∈（0，3）恒成立，
∴m≤$\frac{4+{x}^{2}}{x}$=x+$\frac{4}{x}$對于任意的x∈（0，3）恒成立，
∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當且僅當x=$\frac{4}{x}$即x=2時等號成立，
∴m≤4
故：m≤4．

點評 本題主要考查了充分條件的應用及基本不等式求解最值中的應用、及函數的恒成立與最值求解的相互轉化關系的應用，注意本題解題技巧的應用．