Question

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1，＋∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．

(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b為實(shí)數(shù)．

①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；

②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)．給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設(shè)m為實(shí)數(shù)，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當(dāng)b≤2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)；

當(dāng)b＞2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)，單調(diào)增區(qū)間為(，＋∞)．

（2）(0,1)

【解析】【解析】
(1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝.

①證明：因?yàn)閤＞1時(shí)，h(x)＝＞0，所以函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)．

②當(dāng)b≤2時(shí)，由x＞1得x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，

所以f′(x)＞0.從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．

當(dāng)b＞2時(shí)，令x2－bx＋1＝0得

x1＝，x2＝.

因?yàn)閤1＝＝＜＜1，

x2＝＞1，

所以當(dāng)x∈(1，x2)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＝x2時(shí)，f′(x)＝0.從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2，＋∞)上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)b≤2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)；

當(dāng)b＞2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)，單調(diào)增區(qū)間為(，＋∞)．

(2)由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)

g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，

其中函數(shù)h(x)＞0對(duì)于任意的x∈(1，＋∞)都成立，

所以當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0，

從而g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．

①當(dāng)m∈(0,1)時(shí)，

有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，

α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，即α∈(x1，x2)，

同理可得β∈(x1，x2)．

所以由g(x)的單調(diào)性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，從而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合題意．

②當(dāng)m≤0時(shí)，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調(diào)性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，

所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，與題意不符．

③當(dāng)m≥1時(shí)，同理可得α≤x1，β≥x2，

進(jìn)而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，與題意不符．

綜上所述，所求的m的取值范圍為(0,1)．