Question

已知函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝aln x(a≠0)．

(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(1,0)處有公共的切線，求實數(shù)a的值；

(2)設F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．

 

Answer 1

（1）a＝2. （2）見解析

【解析】【解析】
(1)因為f(1)＝0，g(1)＝0，

所以點(1,0)同時在函數(shù)f(x)，g(x)的圖像上，

因為f(x)＝x2－1，g(x)＝aln x，

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝，

由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.

(2)因為F(x)＝f(x)－2g(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，

所以F′(x)＝2x－＝，

當a<0時，

因為x>0，且x2－a>0，所以F′(x)>0對x>0恒成立，

所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)無極值；

當a>0時，

令F′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－ (舍去)，

所以當x>0時，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)的變化情況如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	遞減	極小值	遞增

 

所以當x＝時，F(xiàn)(x)取得極小值，且F()＝()2－1－2aln＝a－1－aln a.

綜上，當a<0時，函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上無極值；

當a>0時，函數(shù)F(x)在x＝處取得極小值a－1－aln a.