Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，直線：.為圓內(nèi)一點(diǎn)，弦過點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).

（1）若，求的面積；

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與圓相切，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)直線平行可得直線MN的方程，然后求出弦長和高，可得三角形的面積；

（2）聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積證明，進(jìn)而可得直線與圓的位置關(guān)系.

（1）因?yàn)?/span>，設(shè)直線的方程為，

由條件得，，解得，即直線MN的方程為.

因?yàn)?/span>，，所以，即，

所以.

又因?yàn)橹本�與直線間的距離，即點(diǎn)到直線的距離為3，

所以的面積為.

（2）直線與圓相切，證明如下：

設(shè)，則直線的斜率，

因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為，

所以直線的方程為.

聯(lián)立方程組解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，

由于，，

所以

，

所以，即，所以直線與圓相切，得證.