Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)兩個極值點分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.

Answer 1

【答案】（1）a＞2e（2）證明見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對a進行分類討論，確定導(dǎo)數(shù)正負即可求解函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求解；

（2）分析要證明不等式特點，進行合理的變形，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可證.

（1）由題意可知，f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，

令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），

由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，可知g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有兩個不同的變號零點，

由可知，

當(dāng)a≤0時，g'（x）＜0恒成立，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，不符合題意，舍去.

當(dāng)a＞0時，由g'（x）＞0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由g'（x）＜0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故要滿足題意，必有，

解得：a＞2e；

又,∴函數(shù)g（x）在（1，）內(nèi)有一個零點，

又當(dāng)時，g（x），∴在（）內(nèi)有一個零點，

∴a＞2e滿足題意.

（2）由（1）可知，，

故要證：，

只需證明：，

即證：不妨設(shè)0＜x1＜x2，即證，

構(gòu)造函數(shù)：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，

由，所以函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以h（t）＜h（1）＝0得證.