【題目】已知數(shù)列{an}滿足an=3an1+3n﹣1(n∈N*,n≥2)且a3=95.
(1)求a1 , a2的值;
(2)求實(shí)數(shù)t,使得bn= (an+t)(n∈N*)且{bn}為等差數(shù)列;
(3)在(2)條件下求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

【答案】
(1)解:當(dāng)n=2時(shí),a2=3a1+8,

當(dāng)n=3時(shí),a3=3a3+33﹣1=95,

∴a2=23,

∴23=3a1+8,

∴a1=5


(2)解:當(dāng)n≥2時(shí),bn﹣bn1= (an+t)﹣ (an1+t)= (an+t﹣3an1﹣3t)= (3n﹣1﹣2t).

要使{bn}為等差數(shù)列,則必須使1+2t=0,

∴t=﹣

即存在t=﹣ ,使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列


(3)解:∵當(dāng)t=﹣ ,時(shí),數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且bn﹣bn1=1,b1= ,

∴bn= +(n﹣1)=n+ ,

∴an=(n+ )3n+ ,

于是,Sn= ×3+ 32+…+ 3n+ ×n,

令S=3×3+5×32+…+(2n+1)3n,①

3S=3×32+5×33+…+(2n+1)3n+1,②

①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+23n﹣(2n+1)3n+1,②

化簡(jiǎn)得S=n3n+1

∴Sn= + = ,

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,Sn=


【解析】(1)當(dāng)n=2時(shí),a2=3a1+8,當(dāng)n=3時(shí),a3=3a3+33﹣1=95,可得a2=23,代入即可求得a1=5;(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可知:bn﹣bn1= (an+t)﹣ (an1+t)= (an+t﹣3an1﹣3t)= (3n﹣1﹣2t).可知:1+2t=0,即可求得t的值;(3)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn= +(n﹣1)=n+ ,求得an=(n+ )3n+ ,采用分組求和及“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)的相關(guān)知識(shí),掌握通項(xiàng)公式:,以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解,了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】微信已成為人們常用的社交軟件,“微信運(yùn)動(dòng)”是微信里由騰訊開(kāi)發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).手機(jī)用戶可以通過(guò)關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù),同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的或點(diǎn)贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下表:

步數(shù)

性別

02000

20015000

50018000

800110000

>10000

1

2

4

7

6

0

3

9

6

2

若某人一天的走路步數(shù)超過(guò)8000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則被系統(tǒng)評(píng)定為“懈怠型”.

(1)利用樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過(guò)10000步的概率;

(2)根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有90%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?

積極型

懈怠型

總計(jì)

總計(jì)

附:

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】給出下列結(jié)論:①y=1是冪函數(shù);
②定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(0)=0
③函數(shù) 是奇函數(shù)
④當(dāng)a<0時(shí),
⑤函數(shù)y=1的零點(diǎn)有2個(gè);
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點(diǎn),直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在直線,直線l的方程為ax+by=r2 , 那么(
A.m∥l,且l與圓相交
B.m⊥l,且l與圓相切
C.m∥l,且l與圓相離
D.m⊥l,且l與圓相離

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知非空集合A={x|a<x<2a+3},B={x|0<x<1}
(1)若a=﹣ ,求 A∩B
(2)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是(
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,直線L:y=kx+1與⊙C相交于P,Q點(diǎn).
(1)求⊙C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線L1⊥L,且L1交⊙C于M,N,求四邊形PMQN的面積最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(﹣2,0),直線l:(λ+3)x+(λ﹣1)y﹣4λ=0(其中λ∈R).
(1)求直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若直線l與線段AB有公共點(diǎn),求λ的取值范圍;
(3)若分別過(guò)A,B且斜率為 的兩條平行直線截直線l所得線段的長(zhǎng)為4 ,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)集合A=R,集合B={y|y>0},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的映射的是(
A.x→y=|x|
B.x→y=
C.
D.

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