Question

已知f（x）=

-x

2+lnx

+ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）若?x₁，x₂∈[1，e²]，使f（x₁）≥f′（x₂）-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到a的范圍；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為x∈[1，e²]時(shí)，有f（x）_max≥f（x）_min-a恒成立，通過討論a，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）：由f（x）=

-x

2+lnx

+ax，知x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，f′（x）=

-2-lnx+1

(2+lnx)2

+a≥0，
即-a≤

-2-lnx+1

(2+lnx)2

=

1

(2+lnx)2

-

1

2+lnx

=t²-t，（t=

1

2+lnx

∈（0，1）），
當(dāng)t=

1

2

即x=1時(shí)t²-t有最小值-

1

4

，故a≥

1

4

；

（Ⅱ）：若?x₁，x₂∈[1，e²]，使f（x₁）≥f′（x₂）-a成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，有f（x）_max≥f′（x）_min-a恒成立，
由（Ⅰ）有當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，f′（x）_min=-

1

4

+a，
故當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，f（x）_max≥-

1

4

，
①當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，由（Ⅰ）得f（x）在[1，e²]為增函數(shù)，
f（x）_max=f（e²）=-

1

4

e²+ae²≥-

1

4

，a≥

1

4

-

1

4e2

＜

1

4

，
故a≥

1

4

；
②當(dāng)a＜

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，e²）上遞增，
故f（x）∈（a-

1

4

，a-

3

16

），
（i）當(dāng)

3

16

＜a＜

1

4

時(shí)，?x₀∈[1，e²]使f（x₀）=0，則f（x）在區(qū)間[1，x₀]遞減，
在區(qū)間[x₀，e²]上遞增，f（x）_max={f（1），f（e²）}，有f（1）≥-

1

4

或f（e²）≥-

1

4

，
a≥

1

4

或a≥

1

4

-

1

4e2

＞

1

4

-

1

4×4

=

3

16

，
故

1

4

-

1

4e2

≤a＜

1

4

，
（ii）當(dāng)a≤

3

16

時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e²]上遞減，f（x）_max=f（1）=-

1

2

+a≥-

1

4

，
故a≥

1

4

，無解，
綜上a≥

1

4

-

1

4e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．