Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）+

2

；
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若存在t∈[

π

12

，

π

3

]滿足[f（t）]²-2

2

f（t）-m=0，求實數m的取值范圍；
（3）求證：任意的x₁∈[-

π

6

，

π

3

]，存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先利用三角函數的恒等變換把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步求出函數的周期．
（2）利用正弦型函數的定義域求出函數的值域，進一步利用存在性問題求出函數中參數的取值范圍．
（3）利用函數具備嚴格的單調性來進行證明．

解答： 解：（1）函數f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）+

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

2

=sin（2x-

π

6

）+

2

，
所以函數的最小正周期為；T=π；
（2）由于t∈[

π

12

，

π

3

]，
所以：2t-

π

6

∈[0，

π

2

]，
設：F（x）=[f（t）]²-2

2

f（t）=（f（t）-

2

）²-2∈[-2，-1]，
存在t∈[

π

12

，

π

3

]滿足[f（t）]²-2

2

f（t）-m=0，
所以：m的取值范圍為：m∈[-2，-1]
（3）對任意的x₁∈[-

π

6

，

π

3

]，存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立，
當x1∈[-

π

6

，

π

3

]時，使f（x₁）f（x₂）=1成立．
當x1∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x1-

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
所以：f(x1)=sin(2x1-

π

6

)+

2

∈[

2

-1，

2

+1]，
f(x2)=

1

f(x1)

=sin(2x2-

π

6)

）+

2

∈[

2

-1，

2

+1]．
則：sin(2x2-

π

6

)=

1

f(x1)

-

2

∈[-1，1]，
設：

1

f(x1)

-

2

=a（a∈[-1，1]），
由sin(2x2-

π

6

)=a．
解得：2x2-

π

6

=2kπ+arcsina或2x2-

π

6

=2kπ+π-arcsina，
所以x₂的解集為：{x₂|x2=kπ+

1

2

arcsina+

π

12

或x2=kπ-

1

2

arcsina+

7π

12

}（k∈Z）．
由于-

π

6

≤

1

2

arcsina+

7π

12

≤

π

3

，
所以：

π

3

≤-

1

2

arcsina+

7π

12

≤

5π

6

，
由于函數在此區(qū)間內有嚴格的單調性．
所以：存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立．

點評：本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的周期，存在性問題的應用，利用函數的單調性正面函數的唯一解．