【題目】已知函數(shù)f(x)=3x,f(a+2)=27,函數(shù)g(x)=λ·2ax-4x的定義域?yàn)?/span>[0,2].
(1)求a的值;
(2)若函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,求λ的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)的最大值是,求λ的值.
【答案】(1) a=1.
(2) (-∞,2].
(3) λ=.
【解析】
(1)由指數(shù)的運(yùn)算法則可得a=1.
(2)由(1)得g(x)=λ·2x-4x.由題意可知任取0≤x1<x2≤2,Δy=y2-y1<0,原問(wèn)題等價(jià)于λ<對(duì)于x∈[0,2]恒成立.據(jù)此可得λ的取值范圍是(-∞,2].
(3)設(shè)t=2x,換元可知1≤t≤4.且y=-,1≤t≤4.結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論可得λ=.
(1)27=3a+2=33,∴a=1.
(2)由(1)得,g(x)=λ·2x-4x.
任取0≤x1<x2≤2,則Δx=x2-x1>0,
∵g(x)在[0,2]上是減函數(shù),
∴Δy=y2-y1<0,
Δy=y2-y1=g(x2)-g(x1)=λ·-(λ·)
=λ·-()2-[λ·-()2]
=()[λ-()]<0,對(duì)于x∈[0,2]恒成立.
∵>0,
∴λ-()<0對(duì)于x∈[0,2]恒成立,
即λ<對(duì)于x∈[0,2]恒成立.
∵>2,
∴λ≤2.
∴λ的取值范圍是(-∞,2].
(3)設(shè)t=2x,∵0≤x≤2,
∴1≤2x≤4.
∴1≤t≤4.
y=-t2+λt=-,1≤t≤4.
①當(dāng)<1,即λ<2時(shí),ymax=λ-1=,
∴λ=;
②當(dāng)1≤≤4,即2≤λ≤8時(shí),ymax=,
∴λ=[2,8](舍);
③當(dāng)>4,即λ>8時(shí),ymax=-16+4λ=,
∴λ=<8(舍).綜上λ=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表:
對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間 ,,,,進(jìn)行分組,得到頻率分布條形圖如圖.
(1)求圖中的值;
(2)空氣質(zhì)量狀況分別為輕微污染或輕度污染定為空氣質(zhì)量Ⅲ級(jí),求一年中空氣質(zhì)量為Ⅲ級(jí)的天數(shù)
(3)小張到該城市出差一天,這天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5 , 則lna1+lna2+…lna20= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)分別是棱,的中點(diǎn),是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),若 平面,則線段長(zhǎng)度的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a(a<0).1,3是函數(shù)y=f(x)+2x的兩個(gè)零點(diǎn).若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根,求f(x)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在,使成立,則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù) .
(1)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為,,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知直線,,,記,,.
(1)當(dāng)時(shí),求原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在中,求邊上中線長(zhǎng)的最小值;
(3)求面積的取值范圍.
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