Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比大小于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）設(shè)c_n=log₂a_n+1，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜對(duì)于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），則∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴
∴
解得
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（II）=log₂a_n+1=n，∴，∴
∴T_n==
∴T_n＜對(duì)于n∈N^*恒成立，只需m（m+1）≥
∴m≤-或m≥
∴正整數(shù)m的最小值為1．
分析：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，建立方程組，求得首項(xiàng)與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a；
（II）先求通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法求和，進(jìn)而解不等式，即可求得正整數(shù)m的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和，考查恒成立問(wèn)題，正確求通項(xiàng)與數(shù)列的和是關(guān)鍵．