【題目】如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC.
(1)求證:PA∥平面QBC;
(2)PQ⊥平面QBC,求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值.
【答案】
(1)解:證明:過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D,
∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC,
又∵PA⊥平面ABC,
∴QD∥PA,又∵QD平面QBC,PA平面QBC,
∴PA∥平面QBC.
(2)解:方法一:∵PQ⊥平面QBC,
∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ,
∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ.
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),連接AD,則AD⊥BC,
∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD,
∴四邊形PADQ是矩形.
設(shè)PA=2a,
∴ ,PB=2 a,∴ .
過Q作QR⊥PB于點(diǎn)R,
∴QR= = ,
= = ,
取PB中點(diǎn)M,連接AM,取PA的中點(diǎn)N,連接RN,
∵PR= , ,∴MA∥RN.
∵PA=AB,∴AM⊥PB,∴RN⊥PB.
∴∠QRN為二面角Q﹣PB﹣A的平面角.
連接QN,則QN= = = .又 ,
∴cos∠QRN= = = .
即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值為 .
方法二:∵PQ⊥平面QBC,
∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ,
∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ.
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),連AD,則AD⊥BC.
∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD,
∴四邊形PADQ是矩形.
分別以AC、AB、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
不妨設(shè)PA=2,則Q(1,1,2),B(0,2,0),P(0,0,2),
設(shè)平面QPB的法向量為 .
∵ =(1,1,0), =(0,2,﹣2).
∴ 令x=1,則y=z=﹣1.
又∵平面PAB的法向量為 .
設(shè)二面角Q﹣PB﹣A為θ,則|cosθ|= = =
又∵二面角Q﹣PB﹣A是鈍角
∴ .
【解析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明;(2)方法一:利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出.方法二:通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平面角.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一半徑為2的半圓形紙板裁剪成等腰梯形ABCD的形狀,下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點(diǎn)在圓周上,則所得梯形面積的最大值為( 。
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x2+tx+2)(t為常數(shù),且﹣2 <t<2 ).
(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值(用t表示);
(2)是否存在不同的實(shí)數(shù)a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2).若存在,求出實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),,使,,()成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿足條件的,,若不存在,請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知任意角θ以x軸非負(fù)半軸為始邊,若終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x0 , y0),且|OP|=r(r>0),定義sicosθ= ,稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”.對(duì)于正余弦函數(shù)y=sicosx,有同學(xué)得到如下結(jié)論: ①該函數(shù)是偶函數(shù);
②該函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是( ,0);
③該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z.
④該函數(shù)的圖象與直線y= 沒有公共點(diǎn);
以上結(jié)論中,所有正確的序號(hào)是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣1.
(1)對(duì)于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1,2].存在實(shí)數(shù)x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=aln(x2+1)+bx,g(x)=bx2+2ax+b,(a>0,b>0).已知方程g(x)=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根x1 , x2 .
(1)求證:x1+x2<﹣2;
(2)若實(shí)數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+3a﹣λb=0,求λ的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(1,sinx), =(cos(2x+ ),sinx),函數(shù)f(x)= ﹣ cos2x
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為: .
(1)把直線的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(2)求直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)(≥0,0≤).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com