Question

【題目】如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．

（1）求證：PA∥平面QBC；
（2）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，

∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，

又∵PA⊥平面ABC，

∴QD∥PA，又∵QD平面QBC，PA平面QBC，

∴PA∥平面QBC．

（2）解：方法一：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD⊥BC，

∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四邊形PADQ是矩形．

設(shè)PA=2a，

∴ ，PB=2 a，∴ ．

過Q作QR⊥PB于點(diǎn)R，

∴QR= = ，

= = ，

取PB中點(diǎn)M，連接AM，取PA的中點(diǎn)N，連接RN，

∵PR= ， ，∴MA∥RN．

∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．

∴∠QRN為二面角Q﹣PB﹣A的平面角．

連接QN，則QN= = = ．又 ，

∴cos∠QRN= = = ．

即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值為 ．

方法二：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連AD，則AD⊥BC．

∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四邊形PADQ是矩形．

分別以AC、AB、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

不妨設(shè)PA=2，則Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），

設(shè)平面QPB的法向量為 ．

∵ =（1，1，0）， =（0，2，﹣2）．

∴ 令x=1，則y=z=﹣1．

又∵平面PAB的法向量為 ．

設(shè)二面角Q﹣PB﹣A為θ，則|cosθ|= = =

又∵二面角Q﹣PB﹣A是鈍角

∴ ．

【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；（2）方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出．方法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平面角．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．