Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）探究函數(shù)f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間（0，

b a

）和（

b a

，+∞）上的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不要求證明）．并利用所得結(jié)論，求使方程f（x）-log₄m=0有解的m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，得f（x）=f（-x），代入后整理得x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立，從而求得k的最值；
（2）函數(shù)f（x）=ax+

b

x

=x+

b a

x

，由“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性得到結(jié)論函數(shù)f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間(0，

b a

)上為減函數(shù)，在區(qū)間(

b a

，+∞)上為增函數(shù)．求出函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x的值域后把方程f（x）-log₄m=0有解轉(zhuǎn)化為log₄m≥log₄2，從而求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可知f（x）=f（-x）．
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，
log₄4^x=-2kx，
∴x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立．
∴k=-

1

2

；
（2）結(jié)論：函數(shù)f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間(0，

b a

)上為減函數(shù)，在區(qū)間(

b a

，+∞)上為增函數(shù)．
由f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．
設(shè)u=2^x+

1

2x

，又設(shè)t=2^x，則u=t+

1

t

，
由定理，知u=t+

1

t

在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴u_min=u（1）=2，
∵y=log₄x為增函數(shù)，
由題意，只須log₄m≥log₄2，即m≥2．
故要使方程f（x）-log₄m=0有解，m的取值范圍為m≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于把方程f（x）-log₄m=0有解轉(zhuǎn)化為log₄m≥log₄2，是中檔題．