Question

對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實(shí)數(shù)m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是“函數(shù)f（x），g（x）的一個(gè)線性表達(dá)”．
（1）若偶函數(shù)h（x）是“函數(shù)f（x）=x²+3x，g（x）=3x+4的一個(gè)線性表達(dá)”，求h（2）；
（2）若h（x）=2x²+3x-1是“函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）的一個(gè)線性表達(dá)”，求a+2b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)��?shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可．
（2）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)同一性建立引入?yún)��?shù)的方程求參數(shù)，然后再求a+2b的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)h（x）=m（x²+3x）+n（3x+4）=mx²+3（m+n）x+4n，
∵h(yuǎn)（x）是偶函數(shù)，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）設(shè)h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

得

a= 3-n 2 b=- 1 n

∴a+2b=

3

2

-

n

2

-

2

n

（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

2

3

）∪(-

2

3

，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合，考查了利用偶函數(shù)建立方程求參數(shù)以及利用同一性建立方程求參數(shù)，本題涉及到函數(shù)的性質(zhì)較多，綜合性，抽象性很強(qiáng)，做題時(shí)要做到每一步變化嚴(yán)謹(jǐn)，才能保證正確解答本題．