Question

已知函數(shù)f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2

2

-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫(xiě)出由f（x）經(jīng)過(guò)平移 變換得到的一個(gè)奇函數(shù)g（x）的解析式，并說(shuō)明變化過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），求出一個(gè)關(guān)系式，通過(guò)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2

2

-1，討論b的情況，求出a，b即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由f（x）沿x軸向右平移

π

4

個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得g（x）．即可得到所求結(jié)果．

解答：解：（1）由題意f（0）=a+b①
又x∈[0，

π

2

]，則x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

當(dāng)b＞0時(shí)，fmax(x)=f(

π

4

)=a+

2

b=2

2

-1②由①②得a=-1，b=2
當(dāng)b＜0時(shí)，fmax(x)=f(0)=a+b=2

2

-1③由①③得，a，b無(wú)解
所以f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1
（2）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1沿x軸向右平移

π

4

個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得g（x）．所以g(x)=2

2

sinx是奇函數(shù)，
所以由f（x）沿x軸向右平移

π

4

個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得g（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查函數(shù)解析式的求法，注意函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．