Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx²＋cx＋bc，其導(dǎo)函數(shù)為f⁺(x)。令g(x)＝∣f⁺(x) ∣，記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M。
（Ⅰ）如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值；
（Ⅱ）若∣b∣>1，證明對(duì)任意的c，都有M>2；
（Ⅲ）若M≥K對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）證明見(jiàn)解析。
（Ⅲ）

本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和份額類(lèi)討論的思想（滿(mǎn)分14分）。
（I）解：，由在處有極值，
可得，
解得，或。
若，則，此時(shí)沒(méi)有極值；
若，則，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。
（Ⅱ）證法1：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外。
在上的最值在兩端點(diǎn)處取得，
故應(yīng)是和中較大的一個(gè)，
即。
證法2（反證法）：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外，
在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。
故應(yīng)是和中較大的一個(gè)。
假設(shè)，則
，將上述兩式相加得：
，導(dǎo)致矛盾，。
（Ⅲ）解法1：，
（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間內(nèi)，
此時(shí)
由有
①若則，
于是
②若，則
于是
綜上，對(duì)任意的、都有
而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值
故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。
解法2：
（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間內(nèi)，
此時(shí)
，即
下同解法1