(本小題滿分14分)已知關(guān)于
x的函數(shù)
f(
x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702797274.gif)
+
bx2+
cx+
bc,其導(dǎo)函數(shù)為
f+(
x)。令
g(
x)=∣
f+(
x) ∣,記函數(shù)
g(
x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為
M。
(Ⅰ)如果函數(shù)
f(
x)在
x=1處有極值-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702813224.gif)
,試確定
b、
c的值;
(Ⅱ)若∣
b∣>1,證明對任意的
c,都有
M>2;
(Ⅲ)若
M≥
K對任意的
b、
c恒成立,試求
k的最大值。
本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理論證的能力和份額類討論的思想(滿分14分)。
(I)解:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702922601.gif)
,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702937270.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702953226.gif)
處有極值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703000238.gif)
,
可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337030151109.gif)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703031377.gif)
,或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703047485.gif)
。
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703078296.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703093732.gif)
,此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702937270.gif)
沒有極值;
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703187305.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703218753.gif)
,
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703234187.gif)
變化時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702937270.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703265277.gif)
的變化情況如下表:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703593128.gif)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702953226.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702937270.gif)
有極大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703000238.gif)
,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702844238.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702875225.gif)
即為所求。
(Ⅱ)證法1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703686783.gif)
,
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif)
時,函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703717431.gif)
的對稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703749235.gif)
位于區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703749208.gif)
之外。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703764291.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
上的最值在兩端點處取得,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703795327.gif)
應(yīng)是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703811279.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703827267.gif)
中較大的一個,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337038421124.gif)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703998377.gif)
。
證法2(反證法):因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif)
,所以函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703717431.gif)
的對稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703749235.gif)
位于區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
之外,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703764291.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
上的最值在兩端點處取得。
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703795327.gif)
應(yīng)是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703811279.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703827267.gif)
中較大的一個。
假設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704232376.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704248915.gif)
,將上述兩式相加得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704310758.gif)
,導(dǎo)致矛盾,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704326390.gif)
。
(Ⅲ)解法1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703686783.gif)
,
(1)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif)
時,由(Ⅱ)可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703998377.gif)
;
(2)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704607269.gif)
時,函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704638407.gif)
)的對稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703749235.gif)
位于區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
內(nèi),
此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704685814.gif)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704700576.gif)
有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704716615.gif)
①若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704731312.gif)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337047471171.gif)
,
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337047632141.gif)
②若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704794292.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704809546.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704825780.gif)
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337048252012.gif)
綜上,對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704841197.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704856182.gif)
都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704872442.gif)
而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704887373.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704903634.gif)
在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
上的最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704934424.gif)
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704934390.gif)
對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704841197.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704856182.gif)
恒成立的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704981199.gif)
的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133702891226.gif)
。
解法2:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703686783.gif)
(1)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif)
時,由(Ⅱ)可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703998377.gif)
;
(2)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704607269.gif)
時,函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703717431.gif)
的對稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703749235.gif)
位于區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703780263.gif)
內(nèi),
此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704685814.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337051211456.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133705137994.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133704872442.gif)
下同解法1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135225429219.gif)
ax
3-bx
2 +(2-b)x+1,在x=x
2處取得極大值,在x=x
2處取得極小值,且0<x
1<1<x
2<2。
(1)證明:a>0;
(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133614000597.gif)
。
(I)求函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133614016270.gif)
的最小值; (Ⅱ)已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133614078316.gif)
,求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133614094647.gif)
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310123843.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310138197.gif)
為實數(shù))有極值,且在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310138227.gif)
處的切線與直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310169426.gif)
平行.
(1)求實數(shù)
a的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)
a,使得函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310263270.gif)
的極小值為1,若存在,求出實數(shù)
a的值;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231333104661701.gif)
求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133310575845.gif)
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144757782725.gif)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144757798270.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144757829226.gif)
處取得極值.
(1)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144757845197.gif)
的值;
(2)若當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144757860211.gif)
[-1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144758001236.gif)
]時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144758094536.gif)
恒成立,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144758110182.gif)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134304874749.gif)
處的切線
l與
x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t).
(Ⅰ)求切線
l的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125921542411.gif)
,x∈[0,2].
(1)求f(x)的值域;
(2)設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125921557204.gif)
ax
3-a
2x,x∈[0,2].若對任意x
1∈[0,2],總存在x
2∈[0,2],使f(x
1)-g(x
2)=0.求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122857446616.gif)
有兩個極值點,則實數(shù)
a的取值范圍為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142412346206.gif)
上可導(dǎo)的函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142412502775.gif)
,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142412517326.gif)
時取得極大值,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142412533418.gif)
時取得極小值,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142412548312.gif)
的取值范圍是 ( )
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