(本小題滿分14分)已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。令g(x)=∣f+(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M。
(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x=1處有極值-,試確定bc的值;
(Ⅱ)若∣b∣>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2;
(Ⅲ)若MK對(duì)任意的b、c恒成立,試求k的最大值。
(Ⅰ),
(Ⅱ)證明見解析。
(Ⅲ)
本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和份額類討論的思想(滿分14分)。
(I)解:,由處有極值,
可得
解得,或
,則,此時(shí)沒有極值;
,則,
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:




1



0
+
0



極小值

極大值

當(dāng)時(shí),有極大值,故,即為所求。
(Ⅱ)證法1:,
當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。
上的最值在兩端點(diǎn)處取得,
應(yīng)是中較大的一個(gè),
。
證法2(反證法):因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823133703702262.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外,
上的最值在兩端點(diǎn)處取得。
應(yīng)是中較大的一個(gè)。
假設(shè),則
,將上述兩式相加得:
,導(dǎo)致矛盾,。
(Ⅲ)解法1:,
(1)當(dāng)時(shí),由(Ⅱ)可知
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù))的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi),
此時(shí)

①若,
于是
②若,則
于是
綜上,對(duì)任意的、都有
而當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值
對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。
解法2:
(1)當(dāng)時(shí),由(Ⅱ)可知;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi),
此時(shí)
,即
下同解法1
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2 +(2-b)x+1,在x=x2處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0<x1<1<x2<2。
(1)證明:a>0;
(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)
(I)求函數(shù)的最小值;  (Ⅱ)已知,求證:。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)為實(shí)數(shù))有極值,且在處的切線與直線平行.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)的極小值為1,若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè)
求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù),且處取得極值.
(1)求的值;
(2)若當(dāng)[-1,]時(shí),恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)曲線處的切線lx軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t).
(Ⅰ)求切線l的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,2].
(1)求f(x)的值域;
(2)設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若對(duì)任意x1∈[0,2],總存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為       (   )
A.B.
C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

上可導(dǎo)的函數(shù),當(dāng)時(shí)取得極大值,當(dāng) 時(shí)取得極小值,則的取值范圍是                                                                (   )
A.B.C.D.

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