Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R．已知函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，e^-1）
• B、[0，e^-1）
• C、（-∞，e^-1）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：對f（x）求導(dǎo)，討論f′（x）的正負(fù)以及對應(yīng)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，從而求出a的取值范圍；

解答： 解：∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分兩種情況討論：
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函數(shù)，不合題意；
②a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-lna，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值-lna-1	遞減

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-lna），減區(qū)間是（-lna，+∞）；
∴函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于如下條件同時(shí)成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），滿足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），滿足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，滿足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=

2

a

+ln

2

a

，滿足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（

2

a

-e

2

a

）+（ln

2

a

-e

2

a

）＜0；
∴a的取值范圍是（0，e^-1）．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想和分析問題、解決問題的能力．