Question

若不等式|x+

4

x

|≥|m-2|+1對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x均成立，記實(shí)數(shù)m的取值范圍為M．已知集合A={x|x∈M}，集合B={x∈R|x²-x-6＜0}，則集合A∩B=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,交集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：根據(jù)題意設(shè)f（x）=|x+

4

x

|，求出函數(shù)的定義域和f（-x），判斷出函數(shù)的奇偶性，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，再求出m的范圍，由交集的運(yùn)算求出A∩B．

解答： 解：設(shè)f（x）=|x+

4

x

|，則函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
因?yàn)閒（-x）=|-x+

4

-x

|=|x+

4

x

|=f（x），
所以函數(shù)f（x）=|x+

4

x

|是偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)f（x）=|x+

4

x

|的最小值是4，
因?yàn)椴坏仁?span id="5tx51nz" class="MathJye">|x+

4

x

|≥|m-2|+1對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x均成立，
所以4≥|m-2|+1，即|m-2|≤3，解得-1≤m≤5，則集合A={x|-1≤x≤5}，
又B={x∈R|x²-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，所以集合A∩B={x|-1≤x＜3}，
故答案為：{x|-1≤x＜3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查交集及其運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，基本不等式求函數(shù)的最值，恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及絕對(duì)值不等式、二次不等式的解法等．