Question

【題目】已知橢圓，是它的上頂點(diǎn)，點(diǎn)各不相同且均在橢圓上.

（1）若恰為橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，求的面積；

（2）若，求證：直線過一定點(diǎn)；

（3）若，的外接圓半徑為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）2（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求得，由三角形的面積公式，即可求解面積；

（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，又由，求得，得到，即可得到答案.

（3）由題意得：，求得線段的中垂線方程，求得外接圓圓心的縱坐標(biāo)為，即可求解.

（1）由題意，橢圓，可得，

故的面積為.

（2）根椐對稱性，定點(diǎn)必在軸上，利用特殊值可計(jì)算得定點(diǎn)為，

設(shè)，，，

聯(lián)立方程組，整理得，

可得，

因?yàn)?/span>，所，即，

可得，

即，

可得，又因?yàn)?/span>，所以，

所以，可得必過定點(diǎn).

（3）易知是等腰三角形，外接圓圓心在軸上，

由題意得：，

線段的中垂線為：

故外接圓圓心的縱坐標(biāo)為：，所以，

所以.