Question

如圖，點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的面對角線BC′上運動．給出下列三個命題：
①A′P與CD一定是異面直線；
②A′P⊥B′D；
③三棱錐A-D′PC的體積不變；
其中正確的是

 

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：當點P是CC′中點時，A′D∥PC，故①不正確；以D為原點，建立空間直角坐標系，用向量法能證明DB′⊥A′BC′，從而得到A′P⊥B′D，故②正確；由已知條件推導出BC′∥平面AD′C，又P∈BC′，所以三棱錐A-D′PC的體積不變，故③正確．

解答： 解：當點P是CC′中點時，
A′D∥PC，此時A′P與CD共面于平面A′DCP，
故①不正確；
以D為原點，建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，
則D（0，0，0），B′（1，1，1），A′（1，0，1），
B（1，1，0），C′（0，1，1），
∴

DB′

=(1，1，1)，

A′B

=(0，1，-1)，

A′C′

=（-1，1，0），
∴

DB′

•

A′B

=0，

DB′

•

A′C′

=0，
∴DB′⊥A′B，DB′⊥A′C′，
∵A′B∩A′C′=A′，∴DB′⊥A′BC′，
∵A′P?平面A′BC′，∴A′P⊥B′D，
故②正確；
∵AD′∥BC′，AD′?平面AD′C，BC′不包含于平面AD′C，
∴BC′∥平面AD′C，又P∈BC′，
∴三棱錐A-D′PC的體積不變，
故③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．