Question

（2012•徐匯區(qū)一模）已知復(fù)數(shù)z₁=

3

a+2

+(a2-3)i，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若復(fù)數(shù)z₁-z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若虛數(shù)z₁是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的根，求實(shí)數(shù)m值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，可先通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出的代數(shù)形式的表示，再由其幾何意義得出實(shí)部與虛部的符號(hào)，轉(zhuǎn)化出實(shí)數(shù)a所滿足的不等式，解出其取值范圍；
（2）實(shí)系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值，從而求出m的值．

解答：解：（1）由條件得，z₁-z₂=（

3

a+2

-2）+（a²-3a-4）i…（2分）
因?yàn)閦₁-z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，故有

3 a+2 -2＞0 a2-3a-4＞0

…（4分）
∴

-2＜a＜- 1 2 a＜-1，a＞4

解得-2＜a＜-1…（6分）
（2）因?yàn)樘摂?shù)z₁是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的根
所以z₁+

.

z1

=

6

a+2

=6，即a=-1，…（8分）
把a(bǔ)=-1代入，則z₁=3-2i，

.

z1

=3+2i，…（10分）
所以m=z₁•

.

z1

=13…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義得出參數(shù)所滿足的不等式，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．