【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓上，，直線的斜率為（為半焦距）·

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：；

（3）在（2）的條件下，求的最大值

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由題意知 ,，解得 即可．

（2）（i）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，滿足，（ii）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)圓的切線為y＝kx+m，得，A（x1，y1），B（x2，y2），利用，即可證明．

（3 ）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)|OA||OB|＝4，當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，由（2）知，且，即可得OA||OB|的最大值．

（1）連接，由題意知 ，

設(shè)

即 解得 ,

橢圓的方程為 .

（2）（i）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí),交點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足.

(ii)當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)切線為

由圓心到直線距離為

聯(lián)立橢圓方程得 恒成立，設(shè)

滿足 .

（3 ）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)

當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí),由（2）知

.

令

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

綜上所述，的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購(gòu)買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.

①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購(gòu)買量在（單位：）的概率是多少？

②若抽取的5戶中購(gòu)買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；

（2）將某戶某天購(gòu)買甲類生活物資的量與平均購(gòu)買量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買量不少于時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為1，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)給出理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，任意，不等式恒成立時(shí)最大的記為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中，錯(cuò)誤命題是

A. “若，則”的逆命題為真

B. 線性回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心

C. 在平面直角坐標(biāo)系中到點(diǎn)和的距離的和為的點(diǎn)的軌跡為橢圓

D. 在銳角中，有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線與曲線，分別交于第一象限內(nèi)，兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：，過拋物線焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線過焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)，求：的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：時(shí)，.

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同步練習(xí)冊(cè)答案