Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=10，a_n=6a_n+1-

1

2

×4ⁿ，n≥2，n∈Z．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

8

；
（3）證明：數(shù)列{a_n}中任意三項不可能成為等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到an-4n=6(an-1-4n-1)，從而得到等比數(shù)列{an-4n}，然后由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由an=6n+4n，想到借助于二項式定理證明6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ．得到

1

an

≤

1

2•5n

，代入要證明的不等式左邊后利用等比數(shù)列的求和證得答案；
（3）采用反證法思想，假設(shè)存在a_m，a_p，a_n （m，p，n∈N^*）成等差數(shù)列，借助于數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列推得矛盾，從而說明假設(shè)錯誤，原命題得證．

解答： （1）解：由a_n=6a_n+1-

1

2

×4ⁿ，可得an-4n=6(an-1-4n-1)．
又a₁=10，a₁-4=6≠0，
∴數(shù)列{an-4n}是以6為首項，公比為6的等比數(shù)列，
∴an-4n=6•6n-1，即an=6n+4n；
（2）證明：先證明6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ．
當(dāng)n=1時，10=10滿足題意；
當(dāng)n≥2，n∈Z時，6n=(5+1)n=

C

0 n

5n+

C

1 n

5n-1+…+

C

n-1 n

5+

C

n n

．
4n=(5-1)n=

C

0 n

5n-

C

1 n

5n-1+

C

2 n

5n-2-…+

C

n-1 n

5(-1)n-1+

C

n n

(-1)n．
當(dāng)n為偶數(shù)時，
6n+4n=2(

C

0 n

5n+

C

2 n

5n-2+…+

C

n-2 n

52+

C

0 n

)＞2

C

0 n

5n=2•5ⁿ．
當(dāng)n為奇數(shù)時，
6n+4n=2(

C

0 n

5n+

C

2 n

5n-2+…+

C

n-1 n

5)＞2

C

0 n

5n=2•5n．
從而n∈N^*時，6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ，
則

1

6n+4n

≤

1

2•5n

．
又an=6n+4n，
∴

1

an

≤

1

2•5n

．
則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

≤

1

2

(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)
=

1

2

•

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1

8

(1-

1

5n

)＜

1

8

；
（3）證明：假設(shè)存在a_m，a_p，a_n （m，p，n∈N^*）成等差數(shù)列，
∵{a_n}為遞增數(shù)列，
不妨設(shè)a_m＜a_p＜a_n，則有m＜p＜n，從而2a_p=a_m+a_n，
又p≤n-1，
則ap≤an-1=6n-1+4n-1，
2ap≤2an-1=2•6n-1+2•4n-1=

1

3

•6n+

1

2

•4n＜6n+4n=an．
∴2a_p＜a_m+a_n．
與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列{a_n}中任意三項不可能成為等差數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了由放縮法證明不等式，體現(xiàn)了反證法解題思想方法，屬于難度較大的題目．