Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜0）的最小正周期為π，且其圖象經(jīng)過點（

2π

3

，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（

x

2

+

5π

12

），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=

3 2

4

，求g（α-β）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用正弦函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）的最小正周期為π，可求得ω=2，再由其圖象經(jīng)過點（

2π

3

，0）可求得φ，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）依題意可求得g（x）=3cosx，由g（β）=3cosβ=

3 2

4

，可求得cosβ=

2

4

，而α，β∈（0，π），可求得sinα=

2 2

3

，sinβ=

14

4

，利用兩角差的余弦即可求得g（α-β）的值．

解答： 解：（1）因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，所以

2π

ω

=π，解得ω=2．
所以f（x）=3sin（2x+φ）．
因為函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(

π

3

，0)，所以3sin(2×

2π

3

+φ)=0，
得

4π

3

+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-

4π

3

，k∈Z．
由-

π

2

＜φ＜0，得φ=-

π

3

．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin(2x-

π

3

)．
（2）依題意有g（x）=3sin[2×(

x

2

+

5π

12

)-

π

3

]=3sin(x+

π

2

)=3cosx．
由g（α）=3cosα=1，得cosα=

1

3

，
由g（β）=3cosβ=

3 2

4

，得cosβ=

2

4

．
因為α，β∈（0，π），所以sinα=

2 2

3

，sinβ=

14

4

．
所以g（α-β）=3cos（α-β）=3（cosαcosβ+sinαsinβ）
=3×(

1

3

×

2

4

+

2 2

3

×

14

4

)=

2 +4 7

4

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，突出考查同角三角函數(shù)間的關系、誘導公式與兩角差的余弦的綜合應用，屬于中檔題