Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a•x，a≥e，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=e時，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)n∈N^*，比較

n(n+1)

2

lna與ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）的大小，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=e時，求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1），利用分析法進(jìn)行證明，關(guān)鍵證明aⁿ＞na-1．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=e時，f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
于是f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=0．

（Ⅱ）

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1），
理由如下：因為a≥e，
欲證

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）成立，
只需證a

n(n+1)

2

＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1），
只需證aⁿ＞na-1．
構(gòu)造函數(shù)g(x)=

x

ax

，則g′（x）=

1-xlna

ax

．
因為a≥e，所以lna≥1．
令g′（x）＞0，得x＜

1

lna

；g′（x）＜0，得x＞

1

lna

．
所以函數(shù)g（x）在（-∞，

1

lna

）單調(diào)遞增；在（

1

lna

，+∞）上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)g（x）的最大值為g(

1

lna

)=

1

elna

．所以

x

ax

≤

1

elna

，
所以

x-1

ax-1

≤

1

elna

，即a^x-1≥e（x-1）lna，則
a^x-ax+1=a[a^x-1-（x-1）]+1-a≥a[e（x-1）lna-（x-1）]+1-a
＞a[2（x-1）-（x-1）]+1-a=a（x-2）+1＞0，
所以a^x＞ax-1．
取x=n，得aⁿ＞na-1成立． 
所以當(dāng)a≥e時，

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）成立．

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、最值）、用點(diǎn)斜式求直線方程、比較不等式、證明不等式、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想等．