Question

將函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

6

）cos（x-

π

6

）+

3

cos2（x-

π

6

）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n=

bn

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）f（x）=2sin2x，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，其極值點為x=

k

2

π+

π

4

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）bn=2n•an=

π

4

•(2n-1)•2n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（x-

π

6

）cos（x-

π

6

）+

3

cos2（x-

π

6

）
=sin(2x-

π

3

)+

3

cos(2x-

π

3

)
=2sin2x，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，其極值點為x=

k

2

π+

π

4

，
它在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點構成以

π

4

為首項，

π

2

為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

π

4

+（n-1）•

π

2

=

2n-1

4

π，（n∈N*）．
（2）∵a_n=

bn

2n

，∴bn=2n•an=

π

4

•(2n-1)•2n，
∴Tn=

π

4

[1•2+3•22+…+(2n-1)•2n]，①
2T_n=

π

4

[1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1]，②
①-②，得：-T_n=

π

4

[2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]
=

π

4

[2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]
=

π

4

[-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=

π

2

[3-（3-2n）•2ⁿ]．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．