【題目】已知函數(shù).

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)在處取得極小值，設(shè)此時函數(shù)的極大值為，證明：.

【答案】（1）；（2）當時，在上遞減；當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；（3）見解答過程。

【解析】試題分析：（1）先依據(jù)題設(shè)條件對函數(shù)求導，借助導數(shù)幾何意義求出切線的斜率，運用直線的點斜式方程求解；（2）先對函數(shù)然后再運用分類整合思想探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）借助（2）的結(jié)論，確定函數(shù)在處取得極小值時在處取得極大值，然后得到，運用導數(shù)可知其在在上遞減，從而得到，即。

解：(1)當時，，故.

又，則.

故所求切線方程為.

(2)∵

，

∴當時，，故在上遞減.

當時，，；，，

故的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，

當時，，；，，

故的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

綜上所述，當時，在上遞減；

當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；

當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

(3)依據(jù)(2)可知函數(shù)在處取得極小值時，，

故函數(shù)在處取得極大值，即，

故當時，，即在上遞減，

所以，即.

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（2）令， ，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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C.
D.

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