Question

在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

an

2n

，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法可求得T_n，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可求其范圍；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，經(jīng)驗(yàn)證，a₁=1滿足上式．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n．
（Ⅱ）可知Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
兩式相減，得Tn-

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

．
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+1

＞0，則T_n單調(diào)遞增，故Tn≥T1=

1

2

，
又Tn=2-

n+2

2n

＜2，
故T_n的取值范圍是[

1

2

，2)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和及通項(xiàng)公式的求解，屬中檔題，由S_n求a_n時(shí)注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情形．