Question

已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（II）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（III）試探究當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得，

，

,

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

………………………………………4分

（Ⅱ）等價(jià)于對(duì)任意，．

設(shè)，．

則

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/04/29/04/2015042904240327728105.files/image204.gif'>，所以，

所以，故在單調(diào)遞增，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………………………10分

（Ⅲ）設(shè)，．

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．…………………………………13分