Question

（2013?海淀區(qū)一模）宋朝的懷丙用如圖所示的方法打撈落入水底的鐵牛：把一根圓木綁在兩只裝著沙土的打撈船上，請人潛到水底，用繩索捆牢鐵牛，將繩剛好拉直，并將繩索的另一端捆在兩船間的圓木上．然后，把船上的沙土卸走，鐵牛就被拉起．假設鐵牛由某種密度為ρ=8×10³kg/m³的鐵合金制成，質(zhì)量為4.8t，沉入湖水靜止的湖底，鐵牛的底部與湖底不密合．每只打撈船的質(zhì)量為1.15t，每只船上各站著2名質(zhì)量為50kg的工人，船內(nèi)裝有等質(zhì)量的沙土，圓木的質(zhì)量為100kg．兩只船浸入水中的深度相同，每只船浸入水中的深度與船排開水的體積關系如下表所示．忽略繩索質(zhì)量，湖的面積很大．如果將船中沙土全部卸光后，能使鐵牛的底部提升至距離湖底20cm的高度，最初船離岸時每只船內(nèi)應裝沙土的質(zhì)量為

4.3×10³

kg．（g取10N/kg） 

船浸入水中的深度h/m	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
排水體積V/m3	0.7	1.5	2.4	3.4	4.5	5.6

Answer 1

分析：已知鐵牛的體積，根據(jù)公式F_浮=ρ_水gV可求鐵牛剛剛全部露出淤泥時受到的浮力；
因為鐵牛露出淤泥提起時，兩只船和鐵牛受到的浮力等于兩只船和圓木的重力與鐵牛的重力之和，但在未打撈鐵牛到被拉起過程中，兩只船受到的浮力不變，
為能使鐵牛的底部提升至距離湖底20cm的高度，兩只船受到的浮力需要再打撈前將船浸入水中的深度增加；
據(jù)此分析即可船內(nèi)應裝的沙土重力．

解答：解：已知鐵牛密度為ρ_鐵=8×10³kg/m³的鐵合金制成，質(zhì)量m_鐵=4.8t=4800kg，
則鐵牛的體積為V_鐵=

m鐵

ρ鐵

=

4800kg

8×103kg/m3

=0.6m³，
鐵牛受到的浮力為：F_浮鐵=ρ_水gV_鐵=1×10³kg/m³×10N/kg×0.6m³=6×10³N，
∵鐵牛露出淤泥時，兩只船和鐵牛受到的浮力等于兩只船、人和圓木的重力與鐵牛的重力之和，
即：F_浮+F_浮鐵=G_船+G_人+G_木+G_鐵
未打撈鐵牛時，兩只船受到的浮力等于兩只船、圓木、人和沙子的總重力；
即：F_浮=G_船+G_人+G_木+G_沙子
∵在未打撈鐵牛到被拉起過程中，兩只船受到的浮力不變，
∴G_船+G_人+G_木+G_沙子+F_浮鐵=G_船+G_人+G_木+G_鐵
所以，G_沙子=G_鐵-F_浮鐵=m_鐵g-F_浮鐵=4800kg×10N/kg-6×10³N=4.2×10⁴N，
這時，為打撈鐵牛而使兩船應受到的浮力為：
F_浮=G_船+G_人+G_木+G_沙子=2×1.15×10³kg×10N/kg+2×2×50kg×10N/kg+100kg×10N/kg+4.2×10⁴N=6.8×10⁴N，
則兩船排開的水的體積為：
V_排=

F浮

ρ水g

=

6.8×104N

1×103kg/m3×10N/kg

=6.8m³．
所以每只船排開水的體積為：

1

2

V_排=

1

2

×6.8m³=3.4m³，
根據(jù)每只船浸入水中的深度與船排開水的體積的關系表可知：
每只船浸入水中的深度為0.4m；
由題干知：再使鐵牛的底部提升至距離湖底20cm的高度，則每只船在未打撈鐵牛時浸入水中的深度需要再增加20cm，
所以根據(jù)每只船浸入水中的深度與船排開水的體積的關系表可知：
每只船排開水的體積為：V_排′=5.6m³，
則兩船應受到的浮力為：F_浮′=2ρ_水gV_排′=2×1×10³kg/m³×10N/kg×5.6m³=1.12×10⁵N，
∵F_浮′=G_船+G_人+G_木+G_沙子′，
∴G_沙子′=F_浮′-G_船+G_人+G_木=1.12×10⁵N-2×1.15×10³kg×10N/kg+2×2×50kg×10N/kg+100kg×10N/kg=8.6×10⁴N，
所以m_沙′=

G沙子′

g

=

8.6×104N

10N/kg

=8.6×10³kg，
則每只船內(nèi)應裝沙土的質(zhì)量為

1

2

m_沙′=

1

2

×8.6×10³kg=4.3×10³kg．
故答案為：4.3×10³．

點評：本題考查了學生對阿基米德原理和物體浮沉條件的掌握和運用，確定在未打撈鐵牛到被拉起過程中，兩只船受到的浮力不變是解答本題的關鍵，同時難點是正確理解使鐵牛的底部提升至距離湖底20cm的高度，每只船在未打撈鐵牛前浸入水中的深度需要再增加20cm，這樣才能將船中沙土全部卸光后，再使鐵牛的底部提升一定的高度．