Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若∠DAB=60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）連結OC，如圖，根據角平分線定義得∴∠DAC=∠OAC，加上∠OAC=∠OCA，則∠DAC=∠OCA，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥DC，所以OC⊥DC，則可根據切線的判定定理得到結論；
（2）連結BC，如圖，在Rt△ABC中，根據勾股定理可求得答案.

（1）證明： 連接OC

∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA

∵ AC平分∠DAB
∴ ∠DAC=∠OAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC∥AD
∴ ∠ADC+∠OCD=180°

∵ AD⊥CD

∴ ∠ADC =90°
∴ ∠OCD=90°

∴ OC⊥CD

又∵OC是⊙O的半徑
∴ 直線CD是⊙O的切線;

（2）連接BC

∵ AB為⊙O的直徑，

∴ ∠ACB=90°.

∵ AC平分∠DAB ， ∠DAB=60°，
∴ ∠CAB=30°.

∵ ⊙O的半徑為3，

∴ AB=6.

∴ BC=3.

在Rt△ABC中，根據勾股定理，得 AC2+BC2 =AB2

∴ AC2+32 = 62.

∴ AC=.