Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求出直線BC的解析式．

（2）M為線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交BC于H，過(guò)M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周長(zhǎng)最大值并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；當(dāng)△MHQ的周長(zhǎng)最大時(shí)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)R，使|AR﹣MR|最大，求出此時(shí)R的坐標(biāo)．

（3）T為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△OCT沿邊OT翻折得到△OC′T，是否存在點(diǎn)T使△OC′T與△OBC的重疊部分為直角三角形，若存在請(qǐng)求出BT的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）R（1，）；（3）BT＝2或BT＝．

【解析】

（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），即可求BC的解析式；

（2）由已知可得∠QMH＝∠CBO，則有QH＝QM，MH＝MQ，所以△MHQ周長(zhǎng)＝3QM，則求△MHQ周長(zhǎng)的最大值，即為求QM的最大值；設(shè)M（m，），過(guò)點(diǎn)M與BC直線垂直的直線解析式為，交點(diǎn)，可求出，當(dāng)m＝2時(shí)，MQ有最大值；函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，作點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M'（0，3），連接AM'與對(duì)稱軸交于點(diǎn)R，此時(shí)|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，|AR﹣MR|的最大值為AM'；求出AM'的直線解析式為，則可求；

（3）有兩種情況：當(dāng)TC'∥OC時(shí)，GO⊥TC'；當(dāng)OT⊥BC時(shí)，分別求解即可．

解：（1）令y=0，即，解得，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)

∴A（﹣2，0），B（4，0），

令x=0解得y=3，

∴C（0，3），

設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+3，

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解得k=

∴BC的解析式為y＝-x+3；

（2）∵MQ⊥BC，M作x軸，

∴∠QMH＝∠CBO，

∴tan∠QMH＝tan∠CBO＝，

∴QH＝QM，MH＝MQ，

∴△MHQ周長(zhǎng)＝MQ+QH+MH＝QM+QM+MQ＝3QM，

則求△MHQ周長(zhǎng)的最大值，即為求QM的最大值；

設(shè)M（m，），

過(guò)點(diǎn)M與BC直線垂直的直線解析式為，

直線BC與其垂線相交的交點(diǎn)，

∴，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，MQ有最大值，

∴△MHQ周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)M（2，3），

函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，

作點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M'（0，3），

連接AM'與對(duì)稱軸交于點(diǎn)R，此時(shí)|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，

∴|AR﹣MR|的最大值為AM'；

∵AM'的直線解析式為y＝x+3，

∴R（1，）；

（3）①當(dāng)TC'∥OC時(shí)，GO⊥TC'，

∵△OCT≌△OTC'，

∴，

∴

∴BT＝2；

②當(dāng)OT⊥BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸，

OT＝，

∵∠BOT＝∠BCO，

∴，

∴OH＝，

∴

∴BT＝；

綜上所述：BT＝2或BT＝．